26. Das Kurier-Rätsel
Um das Problem zu lösen, kann man es zunächst etwas vereinfachen: Sagen wir, die Armee hat eine Länge von nur einem Kilometer und benötigt eine Stunde, um diese Entfernung zurückzulegen. So können wir die Länge der Armee und somit auch ihre Geschwindigkeit als 1 bezeichnen.
Für die gesamte Strecke, die der Kurier zurückgelegt, legen wir x fest. Somit gilt x auch für seine Geschwindigkeit, da er ja auch genau eine Stunde benötigt.
Wenn der Kurier nach vorn reitet, beträgt seine Geschwindigkeit IM VERHÄLTNIS zur sich voranbewegenden Armee x-1. Auf dem Weg zurück beträgt seine Geschwindigkeit x+1, wieder IM VERHÄLTNIS zur Armee.
Für den Weg nach vorn gilt also: Geschwindigkeit Armee zu Geschwindigkeit Kurier gleich 1 zu x-1
Für den Weg zurück: Geschwindigkeit Armee zu Geschwindigkeit Kurier gleich 1 zu x+1
Beides zusammen ergibt wieder 1 (eine Stunde).
Als Gleichung: 1/(x-1) + 1/(x+1) = 1
Das läßt sich als Quadratgleichung ausdrücken: x² - 2x -1 = 0
So kommt man für x auf den Wert 1 + Wurzel(2). Multipliziert mit 50 erhalten wir das Endergebnis von 120,7 Kilometer.
Mit anderen Worten, der Kurier legt eine Strecke zurück, die der Länge der Armee plus derselben Länge mal der Quadratwurzel aus zwei entspricht.
Ein etwas schnellerer Weg:
Geschwindigkeit der Armee ist a, Geschwindigkeit des Kuriers k.
Zeit um nach vorn zu kommen: t1 = 50 / (k-a)
Zeit um nach hinten zu gelangen: t2 = 50 / (k+a)
Gesamtzeit ist t = t1 + t2 = 50 / a
Daraus folgt k = 2,4142 * a
Gesamtstrecke ist x = k * t = 120,7 km
Ist im Prinzip das gleiche, aber ich finde, der erste Weg ist leichter zu verstehen...